Arbeitsauftrag
Die Hesse-Matrix ist gegeben durch (siehe Applet) Satz Für die zweimal stetig differenzierbare Funktion (siehe Applet) mit grad f(x0,y0) = 0 und die symmetrische Matrix (siehe Applet) gilt: i) det Hess > 0 ∧ a1,1 > 0 ⇒ Hess ist positiv definit, d. h. f besitzt in (x0,y0) ein lokales Minimum. ii) det Hess > 0 ∧ a1,1 < 0 ⇒ Hess ist negativ definit, d. h. f besitzt in (x0,y0) ein lokales Maximum. iii) det Hess < 0 ⇒ Hess ist indefinit, d. h. f besitzt in (x0,y0) einen Sattelpunkt. Aufgabe: Verschiebe den Punkt P und versuche, Maxima, Minima und Sattelpunkte zu finden. Untersuche weitere Funktionen wie f(x,y) = x*y , f(x,y) = 0.5(x³ + x² - x) - 0.5y² , f(x,y) = sin(x)*sin(y) etc. Hinweis: Bei Bedarf kannst du die Einstellungen für das Gitternetz der xy-Ebene auf Abstand π oder π /2 ändern. Zusatzfrage: Wieso kann mit diesem Satz kein Sattelpunkt für die Funktion f mit f(x,y) = x³ gefunden werden?

Ergänzungen

Lernziel
Die Studierenden kennen sich mit den Begriffen lokale Extrema und Sattelpunkt und deren geometrischen Bedeutung bei Funktionen mehrerer Variablen aus. Die Studierenden sind ebenfalls in der Lage diese selbstständig zu berechnen.